اثبات متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه بودن مثلث

حل مسئله

خب، بریم سراغ حل این مسئله‌ی ریاضی! اول از همه، باید مطمئن بشیم سوال درست نوشته شده و منطقی هست. خوشبختانه، سوال کاملاً واضح و درسته. حالا می‌خوایم ثابت کنیم که مثلثی که سه تا نقطه‌ی A، B و C رو به عنوان گوشه‌هاش داره، هم متساوی‌الساقین هست و هم قائم‌الزاویه.

بیاید اول ببینیم این کلمه‌ها یعنی چی:

• مثلث: یه شکل هندسیه که سه تا ضلع داره و سه تا گوشه. مثل یه تیکه پیتزا🍕!
• متساوی‌الساقین: یعنی دو تا از اضلاعش با هم برابرن. تصور کن یه پیتزا🍕 داری که دو تا از تیکه‌هاش اندازه‌ی یکسانی دارن.
• قائم‌الزاویه: یعنی یکی از گوشه‌هایش دقیقاً ۹۰ درجه باشه. مثل گوشه‌ی یه کتاب📐.

حالا می‌خوایم ببینیم این مثلث ما این ویژگی‌ها رو داره یا نه. برای این کار، باید طول اضلاعش رو حساب کنیم و بعد بررسی کنیم که آیا دو تا از اونها برابرن و آیا رابطه‌ی بینشون به شکلی هست که نشون بده یه زاویه‌ی ۹۰ درجه وجود داره.

برای محاسبه‌ی طول اضلاع، از یه فرمول ساده استفاده می‌کنیم که بهش می‌گن فاصله بین دو نقطه. این فرمول بر اساس قضیه فیثاغورس کار می‌کنه. قضیه فیثاغورس میگه توی یه مثلث قائم‌الزاویه، مربع طول ضلع سوم (وتر) برابر با مجموع مربع‌های طول دو ضلع دیگه است.

بیاید یه مثال ساده بزنیم:

فرض کن می‌خوایم فاصله‌ی بین دو نقطه روی زمین رو حساب کنیم. یه نقطه رو مبدأ در نظر می‌گیریم و نقطه‌ی دیگه رو با حرکت به سمت راست و بالا مشخص می‌کنیم. مقدار حرکت به سمت راست میشه یه ضلع و مقدار حرکت به سمت بالا میشه ضلع دیگه. فاصله‌ی مستقیم بین این دو نقطه (وتر) رو هم می‌تونیم با قضیه فیثاغورس حساب کنیم.

حالا فرمول فاصله بین دو نقطه چیه؟ فرض کن دو تا نقطه داریم:

(x1, y1) و (x2, y2). فاصله‌ی بین این دو نقطه برابر است با:

√((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

این فرمول یه کم پیچیده به نظر می‌رسه، ولی نگران نباش! فقط کافیه اعداد رو جایگذاری کنیم و حساب کنیم.

خب، حالا بریم سراغ مسئله‌ی ما. نقطه‌های A، B و C رو داریم:

• A(۱, ۲)
• B(۲, ۵)
• C(۴, ۱)

اول طول ضلع AB رو حساب می‌کنیم:

AB = √((۲ - ۱)² + (۵ - ۲)²)

AB = √((۱)² + (۳)²)

AB = √(۱ + ۹)

AB = √۱۰

حالا طول ضلع BC رو حساب می‌کنیم:

BC = √((۴ - ۲)² + (۱ - ۵)²)

BC = √((۲)² + (-۴)²)

BC = √(۴ + ۱۶)

BC = √۲۰

و در نهایت طول ضلع AC رو حساب می‌کنیم:

AC = √((۴ - ۱)² + (۱ - ۲)²)

AC = √((۳)² + (-۱)²)

AC = √(۹ + ۱)

AC = √۱۰

خب، حالا که طول هر سه ضلع رو داریم، می‌تونیم ببینیم آیا دو تا از اونها برابرن یا نه. می‌بینیم که AB = AC = √۱۰. پس مثلث ما متساوی‌الساقینه!🥳

حالا باید بررسی کنیم که آیا زاویه‌ی قائمه داره یا نه. برای این کار، از یه قانون دیگه استفاده می‌کنیم:

اگه مربع طول یک ضلع برابر با مجموع مربع‌های طول دو ضلع دیگه باشه، اون ضلع روبروی زاویه‌ی قائمه است.

بیاید امتحان کنیم:

AB² = ۱۰

BC² = ۲۰

AC² = ۱۰

آیا AB² + AC² = BC²؟

۱۰ + ۱۰ = ۲۰

۲۰ = ۲۰

بله! پس مثلث ما قائم‌الزاویه هم هست و زاویه‌ی قائمه روبروی ضلع BC قرار داره.🤩

پس ثابت کردیم که مثلث ABC یک مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه است.🎉

راه حل تستی و کوتاه

1. محاسبه‌ی طول اضلاع: AB = √۱۰، BC = √۲۰، AC = √۱۰
2. بررسی متساوی‌الساقین بودن: AB = AC
3. بررسی قائم‌الزاویه بودن: AB² + AC² = BC²

توضیحات بیشتر

حالا بریم یه کم از اصطلاحات و مفاهیم استفاده شده رو با زبون ساده‌تر توضیح بدیم:

• نقطه: یه مکان مشخص روی یه صفحه یا فضا. مثل یه شهر روی نقشه🗺️.
• مختصات: اعدادی که نشون میدن یه نقطه کجاست. مثل آدرس یه خونه🏠.
• فاصله: مقدار بین دو نقطه. مثل مسافت بین دو شهر🛣️.
• قضیه فیثاغورس: یه قانون مهم توی هندسه که رابطه‌ی بین اضلاع یه مثلث قائم‌الزاویه رو نشون میده. مثل یه دستور پخت🍕 که میگه چطوری یه پیتزای خوشمزه درست کنیم.
• جذر (√): یه عدد که وقتی در خودش ضرب بشه، به عدد اصلی برمیگرده. مثل این که بپرسی "چه عددی رو باید در خودش ضرب کنیم تا ۱۰ بشه؟" جوابش میشه جذر ۱۰.
• مربع: یه عدد که وقتی در خودش ضرب بشه، به دست میاد. مثل این که بپرسی "۵ به توان ۲ چند میشه؟" جوابش میشه ۲۵.

امیدوارم این توضیحات بهتون کمک کرده باشه تا مسئله رو بهتر درک کنید و از ریاضیات لذت ببرید!😊

سوالات مشابه

1. نشان دهید مثلث با رأس‌های A(۰, ۰)، B(۳, ۴) و C(۵, ۰) یک مثلث متساوی‌الساقین است.
2. نشان دهید مثلث با رأس‌های A(-۱, ۱)، B(۲, ۳) و C(۵, -۱) یک مثلث قائم‌الزاویه است.
3. نشان دهید مثلث با رأس‌های A(۱, ۲)، B(۴, ۶) و C(۷, ۲) یک مثلث متساوی‌الساقین نیست.